Numerical methods and accurate computations with structured matrices

Esta tesis doctoral es un compendio de 11 artículos científicos. El tema principal de la tesis es el Álgebra Lineal Numérica, con énfasis en dos clases de matrices estructuradas: las matrices totalmente positivas y las M-matrices. Para algunas subclases de estas matrices, es posible desarrollar algoritmos para resolver numéricamente varios de los problemas más comunes en álgebra lineal con alta precisión relativa independientemente del número de condición de la matriz. La clave para lograr cálculos precisos está en el uso de una parametrización diferente que represente la estructura especial de la matriz y en el desarrollo de algoritmos adaptados que trabajen con dicha parametrización.Las matrices totalmente positivas no singulares admiten una factorización única como producto de matrices bidiagonales no negativas llamada factorización bidiagonal. Si conocemos esta representación con alta precisión relativa, se puede utilizar para resolver ciertos sistemas de ecuaciones y para calcular la inversa, los valores propios y los valores singulares con alta precisión relativa. Nuestra contribución en este campo ha sido la obtención de la factorización bidiagonal con alta precisión relativa de matrices de colocación de polinomios de Laguerre generalizados, de matrices de colocación de polinomios de Bessel, de clases de matrices que generalizan la matriz de Pascal y de matrices de q-enteros. También hemos estudiado la extensión de varias propiedades óptimas de las matrices de colocación de B-bases normalizadas (que en particular son matrices totalmente positivas). En particular, hemos demostrado propiedades de optimalidad de las matrices de colocación del producto tensorial de B-bases normalizadas.Si conocemos las sumas de filas y las entradas extradiagonales de una M-matriz no singular diagonal dominante con alta precisión relativa, entonces podemos calcular su inversa, determinante y valores singulares también con alta precisión relativa. Hemos buscado nuevos métodos para lograr cálculos precisos con nuevas clases de M-matrices o matrices relacionadas. Hemos propuesto una parametrización para las Z-matrices de Nekrasov con entradas diagonales positivas que puede utilizarse para calcular su inversa y determinante con alta precisión relativa. También hemos estudiado la clase denominada B-matrices, que está muy relacionada con las M-matrices. Hemos obtenido un método para calcular los determinantes de esta clase con alta precisión relativa y otro para calcular los determinantes de las matrices de B-Nekrasov también con alta precisión relativa. Basándonos en la utilización de dos matrices de escalado que hemos introducido, hemos desarrollado nuevas cotas para la norma infinito de la inversa de una matriz de Nekrasov y para el error del problema de complementariedad lineal cuando su matriz asociada es de Nekrasov. También hemos obtenido nuevas cotas para la norma infinito de las inversas de Bpi-matrices, una clase que extiende a las B-matrices, y las hemos utilizado para obtener nuevas cotas del error para el problema de complementariedad lineal cuya matriz asociada es una Bpi-matriz. Algunas clases de matrices han sido generalizadas al caso de mayor dimensión para desarrollar una teoría para tensores extendiendo la conocida para el caso matricial. Por ejemplo, la definición de la clase de las B-matrices ha sido extendida a la clase de B-tensores, dando lugar a un criterio sencillo para identificar una nueva clase de tensores definidos positivos. Hemos propuesto una extensión de la clase de las Bpi-matrices a Bpi-tensores, definiendo así una nueva clase de tensores definidos positivos que puede ser identificada en base a un criterio sencillo basado solo en cálculos que involucran a las entradas del tensor. Finalmente, hemos caracterizado los casos en los que las matrices de Toeplitz tridiagonales son P-matrices y hemos estudiado cuándo pueden ser representadas en términos de una factorización bidiagonal que sirve como parametrización para lograr cálculos con alta precisión relativa.<br /

Cálculos precisos con algunas clases de matrices

El problema de controlar el error de redondeo es fundamental en análisis numérico. Un análisis del error clásico depende del condicionamiento del problema y un enfoque novedoso en este tema radica en considerar algoritmos con alta precisión relativa. En particular, para cálculos con clases de matrices estructuradas. En estos algoritmos se parte de parametrizaciones de las matrices que permiten asegurar la alta precisión relativa independientemente del condicionamiento de las mismas. Hasta ahora, los ejemplos de clases de matrices encontrados que presentan esta ventaja son o están relacionados con subclases de las P-matrices. Recordemos que una P-matriz es una matriz cuadrada con todos los menores principales positivos. En este documento recopilamos parametrizaciones adecuadas para dos subclases de las P-matrices que destacan por sus muchas aplicaciones: las matrices totalmente positivas no singulares y las M-matrices no singulares. Presentamos la factorización bidiagonal y la eliminación de Neville, ambas herramientas fundamentales para realizar cálculos con alta precisión relativa al trabajar con una matriz totalmente positiva, e ilustramos como emplear la parametrización dada por la factorización bidiagonal para llevar a cabo diversos cálculos matriciales de forma precisa. Los cálculos que describimos son la base necesaria para la obtención de inversas y valores propios y singulares de estas matrices asegurando la alta precisión relativa. En el caso de las M-matrices no singulares, presentamos algoritmos con alta precisión relativa cuando éstas además cumplen la condición de dominancia diagonal. Podemos calcular los valores singulares de estas matrices apoyándonos en la descomposición LDU obtenida utilizando eliminación Gaussiana con las llamadas técnicas de pivotaje simétrico. Además, presentamos algoritmos con alta precisión relativa para las Z-matrices Nekrasov con elementos diagonales positivos, las cuales constituyen una clase de matrices para las que hasta ahora no había algoritmos con alta precisión relativa. Para dicha clase de matrices se propone una parametrización a partir de la cual se obtienen algoritmos con alta precisión relativa para el cálculo de inversas y para el cálculo de sistemas de ecuaciones lineales con términos independientes no negativos

Matrices de Nekrasov y alta precisión relativa

Esta memoria se centra en el estudio de las matrices de Nekrasov, una clase de matrices íntimamente relacionada con las M-matrices diagonalmente dominantes. Se introduce una parametrización para las matrices de Nekrasov, a partir de la cual se desarrollan algoritmos con alta precisión relativa para el cálculo de inversas y para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con términos independientes no negativos. También, se construyen dos matrices de escalado para las matrices de Nekrasov que las llevan a forma estrictamente diagonalmente dominante. A partir de ahí, se deducen cotas para la norma de la inversa de una matriz de Nekrasov, problema con importantes aplicaciones potenciales